Add to favorites

1. वर्गमूल

किसी संख्या का अनुमान लगाकर और गुणा करके उसका वर्गमूल निकालना एक लंबी प्रक्रिया हो सकती है। नीचे किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की एक सरल विधि दी गई है:

उदाहरण: 2116 का वर्गमूल ज्ञात करें

2116 का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए:

चरण 1:  इकाई के स्थान पर अंक देखें। इस मामले में, यह 6 है। अब, 1-9 के बीच की जाँच करें, उन सभी संख्याओं का वर्ग जिनके इकाई के स्थान पर “6” है। उत्तर 42 = 16 और 62 = 36 है।

चरण 2:  अब, जाँच करें कि 1 से 9 के बीच कौन सी संख्या का वर्ग दी गई संख्या के पहले दो अंकों के सबसे करीब है। इस स्थिति में, 1 से 9 के बीच की संख्याओं का योग 21 के सबसे करीब है। उत्तर 42 = 16 और 52 = 25 है।

अतः 44, 46, 54 और 56 में से एक संख्या 2116 का वर्गमूल है।

चरण 3:  चरण 2 में आपको जो दो संख्याएँ मिली हैं, उनमें से प्रत्येक को संख्या श्रृंखला में अगली संख्या से गुणा करें। यानी, 4×5 = 20 और 5×6 = 30. चूँकि 20, 21 के ज़्यादा करीब की संख्या है, इसलिए उत्तर 46 या 44 होना चाहिए। गुणा करें और अपने उत्तर की जाँच करें।

नीचे दिए गए उदाहरण से स्वयं जाँचें:

उदाहरण: 1024 का वर्गमूल क्या है?

समाधान:

चरण 1:  22 = 4 और 82 = 64

चरण 2:  32 = 9

चरण 3:  3×4 = 12. चूँकि 12, 10 से बड़ा है, इसलिए वर्गमूल 32 होगा।

2. घनमूल

किसी संख्या का घनमूल शीघ्रता से ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

उदाहरण: 9261 का घनमूल क्या है?

चरण 1:  1 से 9 के बीच की वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका घन इकाई के स्थान पर मौजूद अंक के बराबर हो; यहाँ, यह 1 है। अतः, हमें 1×1×1 = 1 प्राप्त होता है।

चरण 2:  संख्या का पहला अंक देखें, इस मामले में, 9. 9, 2 के घन (2×2×2 = 8) और (3×3×3 = 27) के बीच स्थित है। चूँकि 8, 9 के सबसे निकट है, इसलिए 9261 का घनमूल 21 है।

नोट: 5 अंकों की संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए, चरण 2 में पहले अंक के बजाय पहले दो अंकों का उपयोग करें

इस तरकीब को और भी बेहतर ढंग से समझने के लिए स्वयं एक उदाहरण देखिए:

उदाहरण: 32768 का घनमूल क्या है?

चरण 1:  23 = 8

चरण 2:  33 = 27 और 43 = 64

चूँकि 27, 32 के अधिक निकट है, इसलिए 32768 का घनमूल 32 होगा।

जो अभ्यर्थी  किसी संख्या का वर्ग और घन निकालने के लिए शॉर्टकट ट्रिक्स की तलाश में हैं  , वे लिंक किए गए लेख पर जा सकते हैं।

3. द्विघात समीकरण

नीचे द्विघात समीकरणों के दो उदाहरण दिए गए हैं, जिन्हें सरल ट्रिक्स से हल करके शीघ्रता से उत्तर प्राप्त किया जा सकता है:

उदाहरण: x² – 18x + 45 = 0

चरण 1: x² के गुणांक और समीकरण में स्थिरांक को गुणा करें। इस स्थिति में, 1×45 = 45

चरण 2: “-1” को x के गुणांक से गुणा करें। इस स्थिति में, -1× (-18) = 18

चरण 3: इसलिए, x का मान 15 और 3 होगा (3+15=18 और 3×15=45)। याद रखें, चिह्नों के लिए, यदि चरण 1 और 2 दोनों में प्राप्त उत्तर सकारात्मक है, तो x के दोनों मान सकारात्मक होंगे। यदि एक भी नकारात्मक है, तो x के मान नकारात्मक होंगे। 

यहाँ, चरण 1 और 2 में प्राप्त मान धनात्मक है इसलिए x का मान भी धनात्मक होगा। अतः उत्तर x = 15, 3 है।

उदाहरण: x²-5x-6 = 0

चरण 1: x² के गुणांक और समीकरण में स्थिरांक को गुणा करें। इस स्थिति में, 1×(-6) = (-6)

चरण 2: “-1” को x के गुणांक से गुणा करें। इस स्थिति में, (-1)× (-5) = 5

चरण 3: इसलिए, x का मान 6 और 1 होगा (6-1=5 और 6×1=6)। याद रखें, चिह्नों के लिए, यदि चरण 1 और 2 दोनों में प्राप्त उत्तर सकारात्मक है, तो x के दोनों मान सकारात्मक होंगे। यदि एक भी नकारात्मक है, तो x का एक मान नकारात्मक होगा।

चरण 4: यहाँ चरण 1 में उत्तर ऋणात्मक है। इस प्रकार, x का एक मान ऋणात्मक होगा। यदि चरण 1 में उत्तर ऋणात्मक है, तो x का छोटा मान ऋणात्मक होगा। यदि चरण 2 में उत्तर ऋणात्मक है, तो बड़ा मान ऋणात्मक होगा। 

अतः, x= 6, -1

ऐसे समीकरणों के बारे में अधिक जानें और लिंक किए गए लेख पर द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए शीर्ष युक्तियाँ प्राप्त करें।

4. संख्या श्रृंखला

यदि कोई अभ्यर्थी संख्या श्रृंखला में अपनाई गई प्रणाली के बारे में भ्रमित है, तो श्रृंखला में दो संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका है। 

उदाहरण: 46 62 87 123 ? 236

समाधान: 

चरण 1: दो संख्याओं के बीच अंतर ज्ञात करने से शुरुआत करें

चरण 2: एक बार जब आप अंतर पा लेंगे, तो आप देखेंगे कि संख्याओं के वर्ग वाला पैटर्न अपनाया गया है। 

4 ² = 16

५ ^२ = २५

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

संख्या श्रृंखला प्रारूप में पूछे गए किसी भी अन्य प्रश्न के लिए, यदि अभ्यर्थी को पैटर्न का अनुसरण करने में किसी प्रकार की उलझन का सामना करना पड़ता है, तो वे श्रृंखला में दो संख्याओं के बीच का अंतर सीधे ज्ञात कर सकते हैं, इससे प्रश्न को हल करना आसान हो जाएगा। 

अभ्यर्थी संख्या श्रृंखला पृष्ठ पर जाकर इस विषय के अंतर्गत पूछे जाने वाले प्रश्नों के प्रकार और अवधारणा के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

5. चक्रवृद्धि ब्याज

नीचे कुछ सूत्र दिए गए हैं जो परीक्षा के दौरान चक्रवृद्धि ब्याज की समस्याओं को हल करते समय आपका कुछ समय बचा सकते हैं:

(a) यदि चक्रवृद्धि ब्याज पहले समय अंतराल के लिए x% है और दूसरे समय अंतराल के लिए y% है, तो,

2 अंतरालों के बाद शुद्ध प्रभावी ब्याज दर = x + y + (xy/100)

नोट: यह तभी लागू होगा जब दोनों समय अंतराल समान हों)

(b) यदि कोई धनराशि, मान लीजिए P, एक निश्चित समय अवधि, मान लीजिए T, में चक्रवृद्धि ब्याज पर A1 हो जाती है और वही धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर “2T” समय में A2 हो जाती है, 

तब, 

पी/ए1 = ए1/ए2

(c) यदि कोई धनराशि, मान लीजिए P, एक निश्चित समय अवधि, मान लीजिए T, में चक्रवृद्धि ब्याज पर A1 हो जाती है और वही धनराशि T+1 वर्ष बाद चक्रवृद्धि ब्याज पर A2 हो जाती है।

तब, 

ब्याज दर = {(A2-A1) / A1} × 100

उदाहरण के लिए: राज श्याम को 16% प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज देता है, जो तिमाही आधार पर संयोजित होता है। राज द्वारा दी जाने वाली प्रति वर्ष प्रभावी ब्याज दर क्या है?

समाधान: 

वार्षिक ब्याज दर = 16% 

इसलिए, ब्याज का भुगतान तिमाही आधार पर किया जाता है, जो 4 बार की किस्त बनती है। इसलिए, प्रति तिमाही ब्याज दर = 16/4 = 4%

(a) x + y + (xy/100) का प्रयोग करके।

4 + 4 + {(4×4)/100} = 8 + 0.16 = दो तिमाहियों के लिए 8.16%

चार तिमाहियों के लिए, 8.16% + 8.16% = 16.32%

6. साधारण ब्याज

नीचे दिए गए सूत्रों से संदर्भ लें और अंतिम परीक्षा में मात्रात्मक अनुभाग के प्रश्नों को हल करते समय कुछ समय बचाएं:

(a) 2 वर्षों के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच अंतर = {(PR) ² / (100) ² }

(b) 3 वर्षों के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच अंतर = {PR 2 (300+R) / 100 ³ }

उदाहरण के लिए: किसी निश्चित राशि पर 4% वार्षिक ब्याज दर से दो वर्षों के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर 800 रुपये है, जब वार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है। वह राशि कितनी है जिस पर ब्याज अर्जित किया गया है?

समाधान:

निम्नलिखित (ए) सीआई-एसआई = {(पीआर) ² / (100) ² }

⇒800 = {(पी×4) ² / (100) ² }

⇒P = रु. 707.11

अभ्यर्थी लिंक किए गए लेख पर विभिन्न सरकारी परीक्षाओं के लिए मात्रात्मक योग्यता पाठ्यक्रम की जांच कर सकते हैं।

7. समय और कार्य

नीचे तीन लोगों द्वारा एक साथ मिलकर किए गए कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय जानने का एक सरल तरीका दिया गया है:

उदाहरण: तीन मजदूर, अजीत, सुमित और रमेश एक ही काम को पूरा करने में क्रमशः 10, 8 और 20 दिन लेते हैं। यदि वे तीनों एक साथ काम करें तो उन्हें यह काम पूरा करने में कितना समय लगेगा?

समाधान:

10, 8 और 20 का एल.सी.एम. = 40

अजीत की कार्यकुशलता = 40/10 = 4

सुमित की कार्यकुशलता = 40/8 = 5

रमेश की कार्यक्षमता = 40/20 = 2

तीनों द्वारा एक साथ लिया गया समय = {(LCM) / (तीनों की दक्षता)} = 40/11 दिन

इसलिए 3 लोगों द्वारा समान कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना करें = (कार्य की कुल इकाई) / सभी कार्यों की दक्षता)

समय और कार्य की अवधारणा के बारे में अधिक जानकारी और इस विषय पर आधारित प्रश्नों को हल करने के लिए शीर्ष युक्तियों के लिए, उम्मीदवार लिंक किए गए लेख पर जा सकते हैं।

8. सन्निकटन

प्रतियोगी परीक्षाओं में गणित के प्रश्नों को हल करते समय सरल गुणन एक ऐसी चीज है जो हमारा अधिकतम समय लेती है। नीचे दो संख्याओं को गुणा करने का एक शॉर्टकट दिया गया है जो सन्निकटन और सरलीकरण से संबंधित प्रश्नों में आपकी मदद कर सकता है।

उदाहरण: 32 × 34 हल करें

चरण 1: पहली संख्या (इस स्थिति में, 32) को दूसरी संख्या के दहाई के अंक (इस स्थिति में, 3) से गुणा करें।

हमें प्राप्त होता है, 32×3 = 96

चरण 2: चरण 1 में प्राप्त उत्तर में “0” जोड़ें। तो अब संख्या “960” हो जाती है

चरण 3: 32 को दूसरी संख्या के इकाई अंक से गुणा करें, हमें प्राप्त होगा, 32×4 = 128

चरण 4: चरण 2 और चरण 3 में प्राप्त परिणाम जोड़ें।

तो उत्तर है 960 + 128 = 1088

लिंक किए गए आलेख में सरलीकरण और सन्निकटन पर आधारित अधिक प्रश्नों को हल करें ।

9. 72 का नियम

72 के नियम का उपयोग उन प्रश्नों को हल करने के लिए किया जाता है जहां किसी निश्चित धनराशि को एक निश्चित समयावधि में एक निश्चित ब्याज दर पर दोगुना करना होता है। 

याद रखने योग्य सूत्र:  निवेशित वर्षों की संख्या = 72/ वार्षिक निवेश दर निवेश दर = 72/ निवेशित वर्षों की संख्या निवेश दर x निवेशित वर्षों की संख्या = 72

उदाहरण के लिए: यदि राज ने अपने मित्र के व्यवसाय में 500 रुपये का निवेश किया, तो राज के निवेश को दोगुना होने में कितना समय लगेगा, यदि ब्याज दर 8% है?

समाधान:

अतः, नियम 72 के अनुसार, 

8% ब्याज दर पर राशि दोगुनी होने की अवधि = 72/8 = 9 वर्ष

10. मिश्रण एवं मिश्रण

नीचे सरकारी परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाने वाले मिश्रण और मिश्रण के प्रश्नों को त्वरित और आसान तरीके से हल करने की गणित की तरकीब दी गई है।

याद रखने का सूत्र:

उदाहरण के लिए: एक दुकानदार दो प्रकार की दालों को मिलाता है जिनकी कीमत क्रमशः 50 रुपये प्रति किलोग्राम और 75 रुपये प्रति किलोग्राम है। दुकानदार को इन दोनों दालों को किस अनुपात में मिलाना चाहिए, जिससे मिश्रण का औसत मूल्य 65 रुपये प्रति किलोग्राम हो जाए।

समाधान:

सस्ती मात्रा/महंगी मात्रा = (75-65) / (65-50) = 10/15 = 2:3

जो लोग मिश्रण और मिश्रण की अवधारणा से अधिक परिचित नहीं हैं, वे इस अवधारणा के बारे में अधिक जानने के लिए लिंक किए गए लेख पर जा सकते हैं, प्रश्नों के प्रकार जो पूछे जा सकते हैं और सहायता के लिए उनके समाधान के साथ कुछ नमूना प्रश्न प्राप्त कर सकते हैं।